Marknadsföringsmaterial i samarbete med Societe Generale. Investeringar innebär alltid en risk.
Nyckelpunkter
I tidigare avsnitt har vi gått igenom hur en warrants pris påverkas av den underliggande tillgångens pris, volatilitet och återstående löptid. Vi har också behandlat flera av de så kallade grekiska nyckeltalen, däribland delta, gamma, vega och theta.
Men hur vägs alla dessa faktorer samman till ett pris?
Vid prissättning av warranter används olika optionsprissättningsmodeller. Den mest kända är Black–Scholes-modellen, ibland Black–Scholes–Merton. Modellen används för att beräkna ett teoretiskt värde på optioner och optionsliknande instrument, såsom warranter.
Matematiken bakom modellen är avancerad. Grundidén är däremot förhållandevis enkel: på lösendagen känner vi utfallet, men före lösendagen måste vi värdera flera möjliga framtida utfall.
På lösendagen är beräkningen enkel
På lösendagen har osäkerheten försvunnit. Då vet vi priset på den underliggande tillgången och kan jämföra det direkt med warrantens lösenpris.
För en köpwarrant bestäms värdet av hur mycket den underliggande tillgångens pris överstiger lösenpriset. Om priset ligger under lösenpriset förfaller köpwarranten utan värde.
Exempel
Anta att en köpwarrant har ett lösenpris på 100 kronor:
På lösendagen behöver vi därför inte uppskatta vad som kan hända. Vi vet redan vad som har hänt.
Värde på en köpwarrant på slutdagen:
Där:
C = värdet på en köpwarrant på slutdagen
S = den underliggande tillgångens pris på slutdagen
K = lösenpriset (strike)
Före lösendagen blir det svårare
Före lösendagen känner vi inte det framtida priset på den underliggande tillgången. Aktien kan stiga, falla eller ligga kvar på ungefär samma nivå. Ju längre tid som återstår, desto fler möjliga utfall behöver vägas in.
En warrant kan därför ha ett värde även om den för tillfället saknar realvärde. Det finns fortfarande tid kvar för den underliggande tillgångens pris att röra sig förbi lösenpriset. Investeraren betalar alltså inte bara för warrantens värde i dag, utan även för möjligheten att den får ett värde i framtiden.
Black–Scholes-modellen hjälper till att sätta ett teoretiskt pris på denna möjlighet genom att väga samman ett stort antal möjliga framtida utfall.
Värde på en köpwarrant före slutdagen:*
Där:
C = det teoretiska värdet på en köpwarrant
S0 = den underliggande tillgångens aktuella pris
K = lösenpriset (strike)
T = återstående löptid
r = riskfri ränta
N(d1) = ett mått på warrantens känslighet mot den underliggande tillgångens pris (delta)
N(d2) = ett mått kopplat till sannolikheten att warranten kommer att ha ett realvärde på slutdagen
* Formeln visar den klassiska Black–Scholes-modellen för en europeisk köpoption utan utdelningar. För warranter justeras resultatet även för produktens paritet.
Ekvationen före slutdagen är mer komplex eftersom vi ännu inte känner slutpriset. N(d1) och N(d2) justerar både aktiekursen S0 och lösenpriset K för denna osäkerhet.
Överkurs: Vad döljer sig bakom N(d₁) och N(d₂)?
N(d₁) och N(d₂) används i Black–Scholes-formeln för att ta hänsyn till osäkerheten kring det framtida utfallet. Matematiskt bygger de på standardnormalfördelningens kumulativa fördelningsfunktion. Förenklat kan man se dem som justeringsfaktorer mellan 0 och 1.
N(d₁) används för att justera värdet av aktieexponeringen, medan N(d₂) används för att justera nuvärdet av lösenpriset.
Om man går ett steg längre är d₁ och d₂ två matematiska uttryck som väger samman modellens viktigaste variabler: aktiekurs, lösenpris, ränta, volatilitet och återstående löptid. När d₁ och d₂ sedan sätts in i funktionen omvandlas de till de justeringsfaktorer som används för att beräkna optionspriset.
Insatta direkt i köpoptionsformeln blir uttrycket:
Av formeln framgår vilka variabler som påverkar warrantens pris. Däremot är det svårt att isolera effekten av en enskild variabel genom att bara titta på ekvationen, eftersom flera variabler förekommer på flera ställen och påverkar varandra.
För att mäta deras respektive effekter används i stället de så kallade optionsgrekerna, exempelvis delta, vega och theta.
Det man stoppar in i modellen
För att beräkna warrantens teoretiska värde behöver modellen ett antal uppgifter:
Den underliggande tillgångens pris
Ju högre priset är i förhållande till lösenpriset, desto högre blir normalt värdet på en köpwarrant. För säljwarranter gäller det motsatta.
Lösenpriset
Lösenpriset är den nivå som den underliggande tillgången jämförs mot på lösendagen. Ju högre lösenpris en köpwarrant har, desto mindre sannolikt är det att warranten får ett realvärde.
Återstående löptid
Ju längre tid som återstår, desto större är möjligheten att den underliggande tillgången utvecklas i en gynnsam riktning. Därför innebär längre löptid normalt ett högre tidsvärde.
Volatilitet
Volatiliteten beskriver hur stora prisrörelser marknaden förväntar sig. Högre volatilitet leder därför normalt till ett högre warrantvärde.
Räntenivå
Räntenivån påverkar värdet på framtida kassaflöden. Effekten är ofta mindre än effekten från prisrörelser och volatilitet, men kan få större betydelse vid lång löptid.
Förväntade utdelningar
För warranter på aktier beaktar modellen även förväntade utdelningar. Högre förväntade utdelningar har normalt en negativ effekt på köpwarranter och en positiv effekt på säljwarranter.
Vad räknar modellen egentligen ut?
Det är lockande att beskriva warrantens pris som sannolikheten att den kommer att ha ett värde på slutdagen. Det är en användbar första intuition, men inte hela förklaringen. Det spelar också roll hur stort realvärdet kan bli i olika scenarier.
Jämför två möjliga utfall för en köpwarrant med lösenpris 100 kronor:
- Om aktien slutar på 101 kronor är warrantens realvärde 1 krona.
- Om aktien slutar på 150 kronor är realvärdet 50 kronor.
Förenklat väger Black–Scholes samman vilka framtida utfall som är möjliga, hur stor vikt de får, hur mycket warranten är värd i respektive utfall samt värdet i dag av en eventuell framtida utbetalning.
Mer strikt bygger Black–Scholes på riskneutral prissättning och ett antagande om att optionens kassaflöden kan återskapas genom handel i den underliggande tillgången och en riskfri placering.
Ett exempel
Anta att en aktie handlas till 95 kronor och att en köpwarrant har ett lösenpris på 100 kronor. Warranten saknar för närvarande realvärde, men kan ändå ha ett marknadsvärde.
Om det återstår ett år till lösendagen och aktien brukar röra sig kraftigt finns en relativt stor möjlighet att aktien hinner stiga över 100 kronor. Warranten kan därför ha ett betydande tidsvärde.
Om det i stället återstår en dag och aktien fortfarande står i 95 kronor är möjligheten betydligt mindre. Tidsvärdet kommer då normalt att vara lågt.
Skillnaden kan sammanfattas med två frågor:
Volatiliteten hjälper sedan modellen att bedöma hur stora rörelser som är rimliga att väga in.
Black–Scholes och de grekiska nyckeltalen
De grekiska nyckeltalen beskriver hur det teoretiska pris som modellen räknar fram förändras när någon av modellens faktorer ändras.
- Delta beskriver känsligheten för förändringar i den underliggande tillgångens pris.
- Gamma beskriver hur delta förändras.
- Vega beskriver känsligheten för förändringar i implicit volatilitet.
- Theta beskriver effekten av att tiden går.
- Rho beskriver känsligheten för förändringar i räntenivån.
Black–Scholes räknar fram ett teoretiskt pris, medan de grekiska nyckeltalen hjälper till att förklara varför priset förändras.
Modellens betydelse och begränsningar
Black–Scholes blev ett genombrott eftersom modellen gav marknaden ett gemensamt och systematiskt sätt att värdera optioner och warranter. Modellen används fortfarande som utgångspunkt, även om professionella aktörer i praktiken ofta använder mer avancerade varianter.
Samtidigt är Black–Scholes en förenkling av verkligheten. Modellen bygger på flera antaganden, bland annat kring volatilitet, räntor och marknadens funktion. Modellen bör därför inte ses som en maskin som förutsäger framtiden, utan som ett analytiskt ramverk för att värdera osäkerhet på ett konsekvent sätt.
Den viktigaste faktorn som modellen inte kan observera direkt är volatiliteten. I praktiken utgår marknaden ofta från aktuella optionspriser och räknar baklänges för att beräkna vilken volatilitet som ligger inprisad. Det är detta som kallas implicit volatilitet.
Sammanfattning
På lösendagen är en warrants värde förhållandevis enkelt att beräkna. Före lösendagen är priset mer komplicerat, eftersom vi ännu inte känner utfallet.
Black–Scholes-modellen väger samman den underliggande tillgångens pris, lösenpriset, återstående löptid, volatilitet, ränta och eventuella utdelningar för att beräkna ett teoretiskt värde.
En warrant kostar pengar före lösendagen eftersom det fortfarande finns möjliga framtida utfall där den får ett värde. Ju större och mer värdefulla dessa möjligheter bedöms vara, desto högre blir normalt warrantens pris.
Samtidigt är Black–Scholes en modell, inte en prognos. Resultatet beror alltid på de antaganden och indata som används.
